常见极限及其证明

极限部分

\begin{matrix} (1) & lim \frac{a^{n}}{n} = + \infty (a > 1) \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & lim \sqrt[n]{n} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & lim \frac{a^{n}}{n} = + \infty \end{matrix}

$\lim\sum_i^n\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}$

\begin{matrix} (4) & \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} \leq \sum_{i}^{n} \frac{1}{n^{2} + i} \leq \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}} \end{matrix}

证明部分

极限1证明

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} lim \frac{a^{n}}{n} & = lim \frac{(1 + λ)^{n}}{n} = lim \frac{1 + n λ + \frac{n (n - 1)}{2} λ^{2} + . . . + λ^{n}}{n} \\ > lim \frac{n (n - 1)}{2 n} λ^{2} > lim \frac{n}{4} λ^{2} \end{aligned} \end{matrix}

$\lambda=a-1$

\begin{matrix} (6) & lim \frac{a^{n}}{n} > lim \frac{n}{4} λ^{2} = lim \frac{(a - 1)^{2}}{4} n = + \infty \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & ∴ lim \frac{a^{n}}{n} = + \infty \end{matrix}

或者使用斯托尔茨定律

\begin{matrix} (8) & lim \frac{a^{n}}{n} = lim \frac{a^{n} - a^{n - 1}}{n - (n - 1)} = lim a^{n} (1 - \frac{1}{a}) = + \infty \end{matrix}

极限2证明

$a=\sqrt[n]{n}$ 代入不等式中：

\begin{matrix} (9) & a^{n} > \frac{(a - 1)^{2}}{4} n^{2} \end{matrix}

得到

\begin{matrix} (10) & n > \frac{(\sqrt[n]{n} - 1)^{2}}{4} n^{2} \end{matrix}

化简得到

\begin{matrix} (11) & 0 < \sqrt[n]{n} - 1 < \frac{2}{\sqrt{n}} \end{matrix}

证明结束

证明方法

$\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式

$y_n\rightarrow +\infty$ $N$ $n>N$ $y_n$ 递增，有

\begin{matrix} (12) & lim \frac{x_{n}}{y_{n}} = lim \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} \end{matrix}

只需等式右边有极限（定值或正负无穷）